Heßberger wurde 1940 in Aschaffenburg geboren. Am 29. Juni 1966 empfing er durch Bischof Josef Stangl in Würzburg die Priesterweihe. Von 1966 bis 1969 war Heßberger Kaplan in Ebern, bevor er als Präfekt an das Würzburger Kilianeum ging. Im selben Jahr wurde er Kaplan in Würzburg-Sankt Josef. Ab 1974 war er Pfarrer in Zeil am Main. Zum Dekan für Ebern wurde er 1985 gewählt. 1987 verlieh ihm Bischof Dr. Paul-Werner Scheele die Pfarrei Sankt Josef in Marktheidenfeld. Von 1988 bis 1989 war Heßberger zusätzlich Pfarrer von Rothenfels. 1990 wurde er zum stellvertretenden Dekan für das Dekanat Lohr gewählt. 1994 wurde Heßberger Pfarrer von Aschaffenburg‑Sankt Gertrud. Zusätzlich war er von 1994 bis 1997 Caritaspfarrer des Dekanats Aschaffenburg-Stadt. Von 1995 bis 2000 bekleidete Heßberger das Amt des Dekans des Dekanats Aschaffenburg-Stadt. Von 1995 bis 1998 gehörte er dem Pastoralrat an, von 1996 bis 2001 dem Diözesan-Steuerausschuss. Von 1997 bis 2000 war Heßberger Vorsitzender der Telefonseelsorge Untermain. 2008 wurde Heßberger zusätzlich Pfarrer von Aschaffenburg-Sankt Peter und Paul (Obernau). Zum 1. Dezember 2010 trat er in den dauernden Ruhestand. Seither hat er einen Seelsorgsauftrag für die Pfarreiengemeinschaft „Maria Frieden, Aschaffenburg“.
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